2020年8月14日。
三个中值定理，罗尔、拉格朗日、柯西。层层递进。罗尔是端点相等有其中一点导数等于0，而把这两点倾斜就变成了拉格朗日，其中肯定存在和斜线平行的，继续变成两个函数除的话，就直接是中间导数除。我是这样理解。
【例2】f(x)二阶可导，lim(x→0)f(x)/x=0，f(1)=0，求证：∃ξ∈(0，1)，使f''(ξ)=0.
证明：
1°，
∵lim(x→0)f(x)/x=0，
∴lim(x→0)f(x)=0，
【可导一定连续】
又∵f(x)连续，
【极限值等于函数值】
∴f(0)=0
0=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(0)，
∴f(0)=0，f'(0)=0，
2°，
∵f(0)=f(1)=0，
∴∃c∈(0，1)，使f'(c)=0，
3°，
∵f'(0)=f'(c)=0，
∴∃ξ∈(0，c)⊂(0，1)，使f''(ξ)=0.
【例3】证明：x＞0时，e^x＞1+x.
证：令f(t)=e^t，f'(t)=e^t.
对x＞0，f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，(0＜ξ＜x)
即e^x-1=xe^ξ.
∵ξ＞0，∴e^ξ＞1.
∴e^x-1=xe^ξ＞x
即e^x＞1+x，(x大于0)
【例4】0＜a＜b，证(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a，
【这道题看起来一筹莫展，如果见到三个，要有两个拉格朗日的想法】
证明：令f(x)=lnx，f'(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
lnb/a=lnb-lna=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/ξ
∵a＜ξ＜b
∴1/b＜1/ξ＜1/a
推出
(b-a)/b＜(b-a)/ξ＜(b-a)/a
∴(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a.
好的到这里3.1微分中值定理就结束了。
下一节是3.2 洛必达法则。
对于0/0型求极限，等价无穷小是有局限性的。
目标：0/0，∞/∞极限的新方法。
Th1.（0/0型）
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0；
②lim(x→a)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0；
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A，
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
……
晚餐日常剩菜。
……
【笔记】lim(x→a)f(x)与f(a)无关。
……
Th1证明：【利用柯西中值定理】
【将f(x)、g(x)在x0作连续延扩（不影响定理证明也不影响极限值），则满足柯西中值定理条件，则定理得证】
【例1】lim(x→0)(x-sinx)/x³
解：原式=lim(x→0)(1-cosx)/3x²
=1/6【1-cosx∽1/2 x²】
【例2】在本子上写了。略
【例3】在本子上写了。略
Th2.（∞/∞）
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0；
②lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→0)F(x)=∞；
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A，
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
【证明】略
【例1】lim(x→0⁺)xlnx.
解：lim(x→0⁺)xlnx
=lim(x→0⁺)lnx/(1/x)
=lim(x→0⁺)1/x/(-1/x²)
=lim(x→0⁺)-x
=0.
【例2】lim(x→0⁺)x^sinx，
【〇的〇次方，立马来一个e^ln】
解：原式=e^lim(x→0⁺)sinxlnx
∵lim(x→0⁺)sinxlnx
=lim(x→0⁺)lnx/cscx
=lim(x→0⁺)(1/x)/(-cscx·cotx)
=-lim(x→0⁺)sinxtanx/x
=-lim(x→0⁺)x²/x
=0
∴原式=e^0=1.
【例3】
lim(x→+∞)lnx/x^a，（a＞0）
=0
【例4】lim(x→+∞)x³/e^x=0.
【注解】
①lim(x→+∞)lnx/x^a=0（a＞0）
②lim(x→+∞)x^a/b^x=0（a＞0，b＞1）
③f(x)→0，F(x)→0，（x→a）
若lim(x→a)f'(x)/F'(x)不存在，
只能说明洛必达法则不能使用，但lim(x→a)f(x)/F(x)不一定不存在。
如：f(x)=x+sinx，F(x)=x，
lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0，
且lim(x→0)f'(x)/F'(x)=lim(x→0)(1+cosx)不存在，
而lim(x→0)f(x)/F(x)=2.
洛必达就到这里吧。
看3.3 Taylor公式【泰勒公式】
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