∴f(x)在[1，2]上取到m和M.
3m≤f(1)+2f(2)≤3M，f(1)+2f(2)=3，
∴m≤1≤M
∴∃C∈[1，2]，使f(C)=1
2º，∵f(0)=f(C)=1
∴∃ξ∈(0，C)⊂(0，2)，使f'(ξ)=0.
……
吃了些零食喝了些水，站起来走了走。
……
【罗尔定理的致命弱点就是第三个条件太苛刻了，所以我们看一个更加广泛的拉格朗日】
二、Lagrange中值定理【拉格朗日中值定理】
Th2.若①f(x)∈C[a，b]，
②f(x)在(a，b)内可导，
则至少∃一点ξ∈(a，b)，使
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
【证明】
【分析】L：y=f(x)
Lab：y-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
即：Lab：y=f(a)+{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
【证明】
令φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)内可导.
且φ(a)=φ(b)=0，
根据罗尔定理，
∃ξ∈(a，b)，使φ'(ξ)=0.
而φ'(x)=f'(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}
∴f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
【真漂亮】
【注解】
①if f(a)=f(b)，则L→R.
②等价形式f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)等价于
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)等价于
f(b)-f(a)=f'[a+(b-a)θ](b-a)，（0＜θ＜1）
【例1】f(x)∈C[a，b]，(a，b)内可导，f(a)=0，f(b)=0，a＜c＜b且|f'(x)|≤M.求证
|f(c)|≤M(b-a)/2.
证明：
1º，
f(c)-f(a)=f'(ξ₁)(c-a)，(a＜ξ₁＜c).
f(b)-f(c)=f'(ξ₂)(b-c)，(c＜ξ₂＜b).
2º，
∵f(a)=0，f(b)=0.
∴f(c)=f'(ξ₁)(c-a)，-f(c)=f'(ξ₂)(b-c)
∴
|f(c)|=|f'(ξ₁)|(c-a)≤M(c-a)，
|f(c)|=|f'(ξ₂)|(b-c)≤M(b-c)，
推出
2|f(c)|≤M(b-a)
推出
|f(c)|≤M(b-a)/2.
【漂亮】
……
学习的课间休息时间我会喝口水上个厕所听听歌。一般放的歌就是《sold out》。稍有激励感。
……
【方法】【对于有三个点的证明，可以用两次拉格朗日】
【例2】a＜b，证arctanb-arctana≤b-a.
【方法】【对于形式是f(b)-f(a)，也可以用拉格朗日】
证明：令f(x)=arctanx. f'(x)=1/(1+x²)
arctanb-arctana
=f(b)-f(a)
=f'(ξ)(b-a)，（a＜ξ＜b）
=[1/(1+ξ²)](b-a)
∵1/(1+ξ²)≤1
∴arctanb-arctana=[1/(1+ξ²)](b-a)≤b-a
【推论】若f(x)∈C[a，b]，f(x)在(a，b)内可导，且f'(x)≡0，
则f(x)≡C₀.
【证明】略，懒得写。
三、柯西中值定理【Cauchy】
Th3.若①f(x)、g(x)∈C[a，b]，
②f(x)、g(x)在(a，b)内可导，
③g'(x)≠0，(a＜x＜b).
则∃ξ∈(a，b)，
使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ).
【注解】
①g'(x)≠0，(a＜x＜b)推出g'(ξ)≠0，[g(b)-g(a)]≠0.【用罗尔定理反证】
②若g(x)=x，则Cauchy→Lagrange
③L拉格朗日辅助函数：φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
C柯西辅助函数：φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
【证明】
令φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)内可导，
φ(a)=0，φ(b)=0，
∵φ(a)=φ(b)=0，
∴根据罗尔定理
∃ξ∈(a，b)，使φ'(ξ)=0.
而φ(x)=f'(x)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g'(x)
f'(ξ)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g'(ξ)=0
∵g'(ξ)≠0，
∴[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ).
【例1】f(x)∈C[a，b]，(a，b)内可导，（a＞0），证：∃ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=ξf'(ξ)·ln(b/a).
【分析】要证f(b)-f(a)=ξf'(ξ)·ln(b/a)，
即证[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=ξf'(ξ).
【lnab=lna+lnb，lna/b=lna-lnb】
证明：令g(x)=lnx，g'(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
由Cauchy，∃ξ∈(a，b)，使
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
推出
[f(b)-f(a)]/[lnb-lna]=f'(ξ)/(1/ξ)=ξf'(ξ)
即f(b)-f(a)=ξf'(ξ)·ln(b/a).
好的休息一下，一会儿再来看看三个中值定理学完了之后的例题。
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